Online User مدلسازی برنامه ریزی آرمانی - مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی - تحقیق در عملیات - مدیریت تولید - ...

مدلسازی برنامه ریزی آرمانی
نویسنده : محسن رحیمی - ساعت ٩:٢٠ ‎ب.ظ روز ۱۳٩٠/٥/٢٢
 

در مدلسازی ریاضی بین دو عبارت «هدف» و «آرمان» باید تفاوت قائل شد. هدف به شکل یک تابع ارائه می شود که باید حداکثر یا حداقل گردد. به عنوان مثال، رابطه زیر بیانگر یک تابع هدف می باشد.

اما آرمان بیانگر مقداری دلخواه برای مقدار یک تابع است. اگر برای نمونه آرمان ما در سود 2500 دلار باشد به این معناست که باید تا می توانیم سعی کنیم با در نظر گرفتن محدودیت ها مقدار

را به عدد 2500 نزدیک کنیم. در برنامه ریزی آرمانی، هر آرمان با استفاده از یک محدودیت آرمانی ارائه می گردد و در نتیجه می توان در یک مدل چندین آرمان گوناگون را در نظر گرفت. بر خلاف محدودیت های مسائل برنامه ریزی خطی و برنامه ریزی عدد صحیح، در محدودیت های آرمانی امکان کمی تخلف از سوی تصمیم گیرنده وجود دارد. به همین علت، محدودیت های آرمانی را از نوع محدودیت های نرم می دانند.

مثال مطلب قبل را در نظر بگیرید. فرض کنید که این شرکت در بخشی از بودجه سالانه خود مقدار TPC دلار را به عنوان هزینه های تولید خود در نظر گرفته است و همچنین به عنوان یک آرمان در نظر دارد که حداقل از 75% از مجموع ساعات کار عادی نیروی انسانی خود استفاده کند. اگر چه این شرکت انتظار دارد که به آرمان های در نظر گرفته خود برسد اما بنا به شرایط خاص انحراف از این آرمان ها غیر ممکن نیست.

مسئله بالا را می توان به شکل مدل برنامه ریزی آرمانی فرمول بندی کرد. برنامه ریزی آرمانی می تواند خطی، عدد صحیح یا غیر خطی باشد. برای سادگی و درک بهتر، در این بخش برنامه ریزی آرمانی خطی را ارائه می دهیم. اجزای هر مسئله برنامه ریزی آرمانی عبارتند از:

  • متغیرهای تصمیم: همانند متغیرهای برنامه ریزی خطی
  • متغیرهای انحراف: مخصوص برنامه ریزی آرمانی (در ادامه توضیح داده خواهد شد.)
  • محدودیت های سیستمی: همانند محدودیت های برنامه ریزی خطی. (در این نوع از محدودیت هیچگونه انحرافی مجاز نمی باشد و به همین علت در اصطلاح محدودیت سخت خوانده می شوند.)
  • محدودیت های آرمانی: مخصوص برنامه ریزی آرمانی (در این نوع محدودیت آرمان مقدار معینی است اما انحراف از آن غیر مجاز نیست و به همین دلیل به آنها محدودیت نرم نیز می گویند.)
  • تابع هدف: حداقل کردن مجموع وزنی انحرافات نامطلوب

در برنامه ریزی آرمانی برای هر محدودیت آرمانی مقداری عددی و معین به عنوان آرمان در نظر گرفته می شود. سپس مسئله به گونه ای مدلسازی می شود که مجموع انحرافات وزنی از این مقادیر با توجه به نوع آرمان حداقل گردد.

در ادبیات بهینه سازی سه نوع آرمان وجود دارد:

  • آرمان یک طرفه پایین: هنگامی که مدلساز نمی خواهد تابع محدودیت از مقدار معینی (آرمان) کمتر شود با این نوع آرمان روبرو هستیم.
  • آرمان یک طرفه بالا: هنگامی که مدلساز نمی خواهد تابع محدودیت از مقدار معینی (آرمان) بیشتر شود با این نوع آرمان روبرو هستیم.
  • آرمان دو طرفه: هنگامی که مدلساز نمی خواهد تابع محدودیت از مقدار معینی (آرمان) نه کمتر و نه بیشتر شود با این نوع آرمان روبرو هستیم.

برای مثال این مطلب، متغیرهای تصمیم (جزء 1) و محدودیت های سیستمی (جزء 3) شبیه به مثال قبل هستند. متغیرهای انحراف (جزء 2) نیز به صورت زیر تعریف می شوند:

برای آرمان هزینه های کل تولید داریم:

متغیر انحرافی اضافی (اگر هزینه های واقعی بیشتر از آرمان مورد نظر گردد) d1+ =

متغیر انحرافی کمبود (اگر هزینه های واقعی کمتر از آرمان مورد نظر گردد) d1- =

برای آرمان ساعات کار عادی

متغیر انحرافی اضافی (اگر ساعات کار عادی بیشتر از آرمان مورد نظر گردد) d2+ =

متغیر انحرافی کمبود (اگر ساعات کار عادی بیشتر از آرمان مورد نظر گردد) d2- =

اکنون می توان محدودیت های آرمانی (جزء 4) را نوشت. آرمان هزینه های تولید از نوع آرمان های یک طرفه بالاست. یعنی شرکت نمی خواهد هزینه های برنامه ریزی از آرمان شرکت بیشتر گردد. همچنین آرمان مربوط به ساعات کار عادی یک آرمان یک طرفه پایین است و شرکت نمی خواهد عدد مربوط به آن از آرمان مورد نظر شرکت کمتر باشد.

تابع هزینه های کل تولید که به صورت زیر است:

را می توان به صورت یک محدودیت آرمانی و به شکل زیر نوشت:

هر دو متغیر d1- و d1+ باید بزرگتر و یا مساوی صفر باشند و البته یکی از آنها در هر حالت باید برابر با صفر باشد. با کمی دقت متوجه می شوید که چرا لازم است متغیر d1- با علامت مثبت (+) و d1+ با علامت منفی (-) در محدودیت آرمانی ظاهر شوند.

به همین صورت تابع مربوط به ساعات کار عادی را نیز که به صورت زیر است:

می توان به صورت محدودیت آرمانی زیر بازنویسی نمود:

که در آن SFP برابر است با 75% از کل ساعات عادی نیروی کار.

متغیرهای d2- و d2+ نیز بزرگتر یا مساوی صفر هستند و حداقل یکی از آنها باید برابر با صفر باشد. تابع هدف (جزء 5) در یک مسئله آرمانی همیشه به صورت حداقل کردن مجموع وزنی انحرافات نامطلوب نوشته می شود. در محدودیت آرمانی هزینه کل تولید، متغیر انحراف اضافی (d1+) متغیر انحرافی نامطلوب است و در محدودیت آرمانی ساعات عادی کار، متغیر انحراف کمبود (d2-) متغیر انحرافی نامطلوب می باشد. قصد ما حداقل نمودن مجموع این انحرافات نامطلوب است. اغلب این انحرافات دارای درجه اهمیت متفاوتی نسبت به یکدیگر می باشند و به همین منظور به این انحرافات در تابع هدف وزن تعلق می گیرد. برای مثال، در مسئله مورد نظر تابع هدف را می توان به شکل زیر نوشت:

بنابراین مدل آرمانی مسئله به شکل زیر خواهد بود:

نکته قابل توجه در برنامه ریزی آرمانی این مطلب است که مدل آرمانی قادر به ارائه جواب بهینه نمی باشد و تنها جواب راضی کننده و کاربردی ارائه می دهد.

مطلب مرتبط بعدی:مدلسازی مسائل برنامه ریزی غیرخطی

مطلب مرتبط قبلی: مدلسازی مسائل چند هدفه