Online User جلسه سوم: چگونه یک بازی نرمال را به زبان ریاضی و در قالب ماتریس بنویسیم؟ - مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی - تحقیق در عملیات - مدیریت تولید - ...

جلسه سوم: چگونه یک بازی نرمال را به زبان ریاضی و در قالب ماتریس بنویسیم؟
نویسنده : محسن رحیمی - ساعت ۱٢:٤٠ ‎ق.ظ روز ۱۳٩٤/٤/۱۳
 

ابتدا از بازی های نرمال شروع می کنیم و در مطالب بعدی به بازیهای گسترده نیز می پردازیم و رابطه این دو بازی را با جزئیات بیشتری مطرح میکنیم. در ابتدا عناصر یک بازی نرمال را دوباره اما به زبان ریاضی می نویسیم. عنصر اول، بازیکنان هستند که اگر فرض کنیم یک بازی دارای n بازیکن است، می توانیم بازیکنان را از یک تا n شماره گذاری کنیم و ...

برای مطالعه متن کامل روی "ادامه مطلب" کلیک کنید.

(1250 کلمه)

مطلب مرتبط بعدی: بازیهای متداول و ساختارهای عمومی آنها (جلسه چهارم تئوری بازیها)

مطلب مرتبط قبلی: جلسه دوم: عناصر و اجزای بازی (بازیکن، اقدام و بازدهی)


ابتدا از بازی های نرمال شروع می کنیم و در مطالب بعدی به بازیهای گسترده نیز می پردازیم و رابطه این دو بازی را با جزئیات بیشتری مطرح می کنیم. در ابتدا عناصر یک بازی نرمال را دوباره اما به زبان ریاضی می نویسیم.

عنصر اول، بازیکنان هستند که اگر فرض کنیم یک بازی دارای n بازیکن است، می توانیم بازیکنان را از یک تا n شماره گذاری کنیم و هر بازیکن را با شماره منحصر به خودش بشناسیم. ترجمه ریاضی این شرایط یعنی بازیکنان مجموعه ای متناهی از یک تا n می باشند و از اندیس i برای اشاره به یک بازیکن به صورت عام استفاده می شود.

Players:    N= {1,…,n}     indexed by i;

عنصر دوم اقدامات است که با A که حرف اول Actions است، نشان داده می شود. هر بازیکن در بازی می تواند اقدامات خاصی را انجام دهد که مجموعه اقدامات بازیکن i به صورت Aiنشان داده می شود. در علم تئوری بازی ها، مفهوم دیگری با عنوان پروفایل اقدامات یا Action Profile نیز وجود دارد که دارای اهمیت بالایی است و مجموعه ای ریاضی از اقداماتی است که کلیه بازیکنان می توانند انجام دهند و به صورت زیر در قالب ریاضی تعریف می شود:

عنصر سوم و آخر، بازدهی یا تابع مطلوبیت بازیکن است که به صورت تابعی از همه اقداماتی که یک بازیکن می تواند انجام دهد تعریف می شود. بنابراین برای هر بازیکن i یک تابع مطلوبیت وجود دارد که به ما می گوید برای آن بازیکن خاص هر اقدام چه مطلوبیتی ایجاد خواهد کرد. تابع مطلوبیت بازیکن i به صورت ui نمایش داده می شودو تابعی با دامنه A و برد اعداد حقیقی خواهد بود.

مانند پروفایل اقدامات، پروفایل مطلوبیت ها نیز به صورت زیر تعریف می شود:

بهترین و ساده ترین راه نمایش بازی های نرمال، نمایش ماتریسی است. برای توضیح این روش بازی شبکه اینترنت که در مطالب قبلی به آن اشاره شد را در نظر بگیرید. به طور خلاصه در این بازی، بازیکنان کاربران شبکه اینترنت هستند و پیغامی روی صفحه برای آنها به نمایش در می آید که می توانند آن را تایید یا رد نمایند. این اقدام آنها نتیجه ای در بر خواهد داشت که بستگی به اقدام سایرین دارد. همین بازی را به صورت 2 نفره در نظر بگیرید. یعنی شبکه اینترنتی را فرض کنید که دارای دو کاربر 1 و 2 می باشد. با توجه به اینکه ماتریس دارای سطر و ستون است برای نمایش ماتریسی این بازی، بازیکن شماره یک را بازیکن سطری و بازیکن شماره 2 را بازیکن ستونی در نظر بگیرید. در ترسیم بازی به روش ماتریسی، ماتریس نهایی به تعداد اقدامات هر بازیکن سطری، سطر و به تعداد اقدامات هر بازیکن ستونی، ستون خواهد داشت. در مثال بالا، هر بازیکن دارای دو اقدام است که شامل تایید یا رد پیغام می باشد. بنابراین با یک ماتریس 2 در 2 می توان بازی را نمایش داد که در شکل زیر می بینید. حروف C و D که کنار سطر ها و ستون های ماتریس نوشته شده است مجموعه اقداماتی است بازیکنان بازی می توانند انجام دهند. برای نمونه بازیکن سطری می تواند یا پیام را تایید کند و یا آن را کنسل نماید. پس دو اقدام C و D مجموعه اقدامات او را شکل می دهند. همینطور بازیکن ستونی نیز وضعیت مشابهی دارد. علامت C مربوط به اقدام رد پیغام و علامت D مربوط به اقدام تایید پیغام می باشد. هر سلول از ماتریس، با شماره سطر و ستون مربوطه مشخص می شود، برای مثال سلول (1 , 2) سلولی است که در سطر دوم و ستون اول قرار دارد و نمایانگر انتخاب گزینه «تایید» توسط بازیکن سطری و انتخاب گزینه «رد» توسط بازیکن ستونی است.. ماتریس زیر نمایش آن بازی به شکل ماتریسی است.

اعدادی که در هر خانه ماتریس نوشته شده است، نتیجه و بازدهی هر بازیکن از تصمیمی است که توسط او و بازیکن دیگر انتخاب شده است. برای نمونه اعداد نشان داده شده در سطر اول و ستون اول به این معناست که اگر بازیکن سطری و ستونی هر دو همزمان گزینه C را انتخاب کنند، بازدهی هر کدام 1- خواهد بود. یا اگر بازیکن سطری گزینه D و بازیکن ستونی گزینه C را انتخاب کند در این شرایط بازیکن سطری دارای بازدهی صفر و بازیکن ستونی دارای بازدهی 4- خواهد بود. بنابراین می بینید که ماتریس یکی از ساده ترین راه های نمایش بازیهای نرمال و عناصر آن به صورت ریاضی – ترسیمی است و به کمک آن می توان به دنبال بهترین استراتژی برای انتخاب اقدام مناسب از بین مجموعه اقدامات ممکن بود.

البته مسلماً همه بازی ها را نمی توان به این فرم ساده ماتریسی نمایش داد. برای مثال فرض کنید بازی مورد نظر یک رفراندوم سیاسی است که طی آن 10 میلیون نفر از جمعیت جامعه در انتخاباتی تغییر یک نظام سیاسی را تایید یا رد می کنند. در این بازی 10 میلیون بازیکن وجود دارد و در نتیجه امکان نمایش این بازی به صورت ماتریسی وجود ندارد. اما برای تبدیل این مسئله به مدل ریاضی به صورت ساده از مجموعه ها و روابط ریاضی استفاده می کنیم. برای مثال مجموعه بازیکنان به صورت زیر خواهد بود:

هر کدام از این بازیکنان دو اقدام پیش رو دارند، یا به انقلاب سیاسی رای مثبت می دهند و یا آن را رد کرده و رای منفی می دهند. بنابراین مجموعه اقدامات هر بازیکن در این بازی یک مجموعه باینری و دو عضوی است و فرم ریاضی آن به صورت زیر خواهد بود:

در این بازی تعریف تابع مطلوبیت یا بازدهی هر بازیکن از اهمیت بسزایی برخوردار است. سوال اینجاست که هر بازیکن با توجه به اقدامی که انجام داده و رایی که در صندوق انداخته و همچنین با توجه به مجموع اقداماتی که دیگر بازیکنان انجام داده اند، یعنی نتایج نهایی انتخابات چه به دست خواهد آورد و یا به عبارت دیگر بازدهی او چه خواهد بود. برای نمونه در این مثال فرض کنید اگر حداقل 2 میلیون نفر به انقلاب رای بدهند، نظام سیاسی تغییر خواهد کرد و اگر تعداد کمتری به آن رای دهند نظام تغییری نخواهد کرد و فرض کنید نظام فعلی برای این تعداد اقلیت تحریم ها و تنبیهاتی در نظر خواهد گرفت. حال فرض کنید شما به انقلاب رای داده اید. اگر در انتخابات انقلابیون پیروز شده باشند بازدهی اقدام شما 1+ خواهد بود و اگر بالعکس انقلاب شکست بخورد بازدهی 1- خواهد بود. در این حالت اگر شما به انقلاب رای نداده باشید و انقلاب شکست بخورد بازدهی اقدام شما صفر خواهد بود چون نه چیز جدیدی به دست آورده اید و نه دچار تحریم ها و تنبیه ها خواهید بود. برای حل این بازی باید ابتدا این روابط را به زبان ریاضی نوشت. با توجه به توضیحات فوق می توان نوشت:

در این بازی با شرایطی روبرو هستیم که بازدهی بازیکن i ام هم به اقدام خود و هم به اقدام سایر بازیکنان بستگی دارد.

به طور خلاصه در تعریف بازی ها، با دو فرم و قالب متفاوت به نام های بازی نرمال و بازی گسترده روبرو هستیم. در این مطلب ما به بازی نرمال پرداختیم و عناصر آن را که شامل بازیکنان، اقدامات و بازدهی بازیکنان بود به صورت ماتریسی و در قالب روابط ریاضی نشان دادیم. در مباحث آینده به سراغ بازی های گسترده خواهیم رفت که مفاهیم جدیدی مانند زمان بندی و میزان اطلاعات بازیکنان از بازی نیز اهمیت خواهد داشت.

در مطلب آینده شما را برخی از انواع بازیهای معروف در تئوری بازیها و ویژگی های منحصر به فرد آنها آشنا خواهم کرد.

مطلب مرتبط بعدی: بازیهای متداول و ساختارهای عمومی آنها (جلسه چهارم تئوری بازیها)

مطلب مرتبط قبلی: جلسه دوم: عناصر و اجزای بازی (بازیکن، اقدام و بازدهی)