Online User مدلسازی توابع غیر خطی به روش تقریب - مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی - تحقیق در عملیات - مدیریت تولید - ...

مدلسازی توابع غیر خطی به روش تقریب
نویسنده : محسن رحیمی - ساعت ٦:٢٥ ‎ب.ظ روز ۱۳٩٤/٤/۱٩
 

یکی از کاربردهای مهم مدلسازی توابع خطی تکه ای که در مطلب مرتبط قبلی به آن پرداختیم، تقریب توابع غیر خطی است. شکل 1، یک تابع غیرخطی (مربوط به سود) را که مشابه آن در دنیای واقعی بسیار دیده می شود را در نظر بگیرید. برای تقریب خطی این تابع به سادگی می توان از یک تابع خطی تکه ای پیوسته استفاده نمود. برای تقریب خطی تابع مورد نظر لازم است آن را به چند بخش (نه لزوماً مساوی) تقسیم نماییم. فرض کنید ...

برای مطالعه متن کامل روی "ادامه مطلب" کلیک نمایید.

(400 کلمه)

مطلب مرتبط بعدی: منتشر نشده است

مطلب مرتبط قبلی: مدلسازی توابع خطی تکه ای


 

 شکل 1. نمونه ای از یک تابع غیر خطی

 برای تقریب خطی تابع مورد نظر لازم است آن را به چند بخش (نه لزوماً مساوی) تقسیم نماییم. فرض کنید بر اساس شکل 2، تابع مذکور را به سه بخش تقسیم کنیم. در نتیجه می توان سه متغیر ${x_1}$، ${x_2}$ و ${x_3}$ را که در شکل نیز مشخص شده اند تعریف نمود و عبارت زیر را نوشت:

$$y=x_1+x_2+x_3$$

 و همچنین داریم:

$$\begin{align}{0}\le{x_1}\le{u_1},\\{0}\le{x_2}\le{u_2},\\{0}\le{x_3}\le{u_3},\\\end{align}$$

نکته ای که باید توجه داشت آن است که برای افزایش دقت تقریب می توان تعداد بخش ها (پاره خط ها) را افزایش داد و البته باید این نکته را نیز مد نظر داشت که این کار باعث افزایش متغیرهای تصمیم و محدودیت ها می شود.با در نظر گرفتن شیب پاره خط ها که عبارتند از  ${S_1}$، ${S_2}$ و ${S_3}$ تابع هدف را می توان به صورت زیر نوشت:

$${f(y)}={S_1}{x_1}+{S_2}{x_2}+{S_3}{x_3}$$

 که محدودیت های ویژه آن نیز عبارتند از:

$$\begin{align}{x_2}=0\quad\text{if}\quad{x_1}\lt{u_1}\\{x_3}=0\quad\text{if}\quad{x_2}\lt{u_2}\\\end{align}$$

 

 شکل 2. تقریب خطی تکه ای یک تابع غیر خطی

برای نمایش دو محدودیت ارائه شده در بالا به صورتی که برای برنامه ریزی خطی قابل استفاده باشد، دو متغیر باینری به صورت زیر را تعریف می کنیم:

 $${z_1}=\begin{cases} 0, & \text{if ${x_1}\lt{u_1}$} \\1,& \text{if ${x_1}={u_1}$}\end{cases}\\{z_2}=\begin{cases} 0, & \text{if ${x_2}\lt{u_2}$} \\1,& \text{if ${x_2}={u_2}$}\end{cases}$$

 و به کمک این متغیرهای جدید، محدودیت های شرطی مسئله را به محدودیت های زیر تبدیل می کنیم:

$${y}={x_1}+{x_2}+{x_3}\\{u_1}{z_1}\le{x_1}\le{u_1}\\{u_2}{z_2}\le{x_2}\le{u_2}{z_1}\\{0}\le{x_3}\le{u_3}{z_2}\\{z_1},{z_2}\in{0,1}$$

 مثال تقریب یک تابع غیر خطی

فرض کنید به منظور تقریب یک تابع غیر خطی آن را به سه بخش تقسیم کرده ایم که نقاط تقاطع پیشنهادی این سه پاره خط عبارتند از ${(4,20)}$، ${(10,26)}$ و ${(15,41)}$. به کمک اطلاعات ارائه شده تابع مورد نظر را برای استفاده در یک مدل برنامه ریزی خطی، مدلسازی نمایید. به کمک اطلاعات بالا می توان نوشت:

 $${P_1}=20,\quad{P_2}=26,\quad{P_3}=41$$

و

$${u_1}=4,\quad{u_1}+{u_2}=10,\quad{u_1}+{u_2}+{u_3}=15$$  

شیب خطوط پیشنهادی را می توان به صورت زیر محاسبه نمود:

$${S_1}=\frac{{P_1}-{P_0}}{{y_1}-{y_0}}=\frac{20-0}{4-0}=5\\{S_2}=\frac{{P_2}-{P_1}}{{y_2}-{y_1}}=\frac{26-20}{10-4}=1\\{S_3}=\frac{{P_3}-{P_2}}{{y_3}-{y_2}}=\frac{41-26}{15-10}=3$$

حال به کمک شیب های به دست آمده می توان تابع اصلی را مدلسازی نمود. برای این کار ابتدا دو متغیر باینری را به صورت زیر تعریف می کنیم:

$${z_1}=\begin{cases} 0, & \text{if ${x_1}\lt4$} \\1,& \text{if ${x_1}=4$}\end{cases}\\{z_2}=\begin{cases} 0, & \text{if ${x_2}\lt6$} \\1,& \text{if ${x_2}=6$}\end{cases}$$

بنابراین مدل کلی مسئله به صورت زیر خواهد بود:

\begin{align}\text{Max}\quad{f(y)}&=5{x_1}+{x_2}+3{x_3}\\\text{subject to}&\\&y={x_1}+{x_2}+{x_3}\\&4{z_1}\le{x_1}\le{4}\\&6{z_2}\le{x_2}\le6{z_1}\\&0\le{x_3}\le5{z_2}\\&{x_1},{x_2},{x_3}\ge{0}\\&{z_1},{z_2}\in{0,1}\\\end{align}