Online User بازیهای متداول و ساختار عمومی آنها (جلسه چهارم تئوری بازیها) - مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی - تحقیق در عملیات - مدیریت تولید - ...

بازیهای متداول و ساختار عمومی آنها (جلسه چهارم تئوری بازیها)
نویسنده : محسن رحیمی - ساعت ٧:٤٤ ‎ق.ظ روز ۱۳٩٥/۱/٦
 

همانگونه که در انتهای مطلب مرتبط قبلی قول داده بودیم در این مطلب به معرفی برخی از بازیهای معروف و مطرح در تئوری بازیها می پردازیم. دقت داشته باشید که در اینجا صرفا به معرفی مختصری از انواع ساختار بازی می پردازیم و در مطالب بعدی مفصل تر راجع به آنها صحبت می کنیم.

یکی از مهمترین بازیهای شناخته شده در این مبحث مسئله ای موسوم به “Prisoner’s Dilemma” است که به فارسی به عناوین «معمای زندانی» و یا «دوراهی زندانی» ترجمه شده است.

 

برای مطالعه متن کامل مقاله روی "ادامه مطلب" کلیک کنید.

(1700 کلمه)

مطلب مرتبط بعدی: منتشر نشده است.

مطلب مرتبط قبلی: جلسه سوم: چگونه یک بازی نرمال را به زبان ریاضی و در قالب ماتریس بنویسیم؟


ساختار بازی Prisoner’s Dilemma

یکی از مهمترین بازیهای شناخته شده در این مبحث مسئله ای موسوم به “Prisoner’s Dilemma” است که به فارسی به عناوین «معمای زندانی» و یا «دوراهی زندانی» ترجمه شده است. برای درک ساختار این بازی فرض کنید دو مظنون توسط پلیس دستگیر شده‌اند پلیس باید شواهد کافی برای محکومیت مظنونین جمع‌آوری کند و برای این کار به صورت جداگانه از مظنونین باز جویی می‌کند. اگر یکی از مظنونین علیه دیگری شهادت دهد و مظنون دیگر سکوت را ترجیح دهد، در این حالت مظنون اول آزاد و دیگری به یک سال حبس محکوم می‌شود. اگر هر دو سکوت در بازجویی را انتخاب کنند هر دو زندانی در زندان تنها برای یک ماه حبس خواهند کشید و اما اگر هر دو علیه دیگری شهادت دهند باید به مدت ۳ ماه هر زندانی حبس بکشد. هر زندانی باید بین خیانت و سکوت یکی را انتخاب کند و هر کدام از آنها نمی‌داند که دیگری کدام راه را انتخاب می‌کند. به طور کلی هر بازی خاصی را که بتوان به صورت ماتریس زیر مدل نمود می توان یک بازی معمای زندانی تلقی کرد:

$$\begin{array}{c|c|c}&C&D\\\hline C&\text{(a,a)}&\text{(b,c)}\\\hline D&\text{(c,b)}&\text{(d,d)}\end{array}\\\text{with}\quad\text{c}\lt\text{a}\lt\text{d}\lt\text{b.}$$

بر اساس ماتریس فوق اگر هر دو مظنون سکوت کنند هر کدام به اندازه $a$ به زندان محکوم می شوند یعنی بازدهی هر دو مقدار $a$ خواهد بود و اگر هر دو علیه یکدیگر شهادت دهند هر دو به اندازه $d$ محکوم به زندان خواهند بود. دقت کنید که چون زندان رفتن ماهیتی منفی دارد لذا مدت ها را می توان با منفی نشان داد یعنی برای مثال یک ماه زندان بهتر از $3$ ماه زندان است و در نتیجه $-1$ بزرگتر از $-3$ خواهد بود. طبق این تعریف از لحاظ بازدهی باید $a$ بزرگتر از $d$ باشد. اما اگر یکی از آنها سکوت کند و دیگری علیه او شهادت بدهد فردی که سکوت کرده آزاد شده (بازدهی $b$) و مظنون دیگر به $c$ ماه زندان محکوم می شوند (بازدهی $c$) به طوریکه $c$ از $b$ بزرگتر و بهتر می باشد و چون این حالت می تواند برای هر دو مظنون اتفاق بیفتد لذا بازدهی ثبت شده در خانه $\text{(1,2)}$ دقیقاً قرینه بازدهی ثبت شده در خانه $\text{(2,1)}$ می باشد. این بازی معروف به واسطه چیدمان خاص بازدهی ها، در خود مشخصات و ویژگی های معماگونه ای دارد که دو طرف بازی باید بر مبنای درک شهودی از تصمیم طرف مقابل اقدام به تصمیم گیری نمایند.

ساختار بازیهای رقابت مطلق (pure competition)

مشخصه اصلی این بازیها، همانگونه که از اسم آنها نیز بر می آید، آن است که رقابتی کامل بین بازیکنان وجود دارد به این معنا که برد یکی برابر با باخت دیگری است. برای مثال در یک پنالتی در بازی فوتبال یا دروازه بان با گرفتن توپ برنده می شود و یا زننده پنالتی با گل کردن برنده خواهد بود و دیگری بازدهی نخواهد داشت. به عبارت دیگر در بازیهای رقابت مطلق باید منافع متضاد وجود داشته باشد. در این نوع بازیها حتماً و دقیقاً باید دو بازیکن وجود داشته باشند در غیر این صورت امکان تضاد کامل منافع از بین می رود.

در این نوع بازی برای کلیه اقدامات ممکن، مجموع بازدهی دو بازیکن عددی ثابت است و به عبارت دیگر بازدهی یک بازیکن مکمل بازدهی بازیکن دیگر است. یعنی به ازای هر مجموعه اقدام $(a)$ عضو پروفایل اقدامات $(A)$، مجموع توابع مطلوبیت دو بازیکن عددی ثابت $(c)$ خواهد بود. ترجمه ریاضی عبارت فوق به شرح زیر است:

$$a\in A,u_1(a)+u_2(a)=c$$

در اغلب مسائل رقابت مطلق، این عدد ثابت برابر با صفر است و به همین دلیل این دسته خاص از بازیهای رقابت کامل را با عنوان بازیهای مجموع صفر یا zero sum می شناسند که در مقابل آن بازیهای مجموع غیر صفر یا constant sum قرار دارند. نکته جالبی که درباره این بازیها وجود دارد آن است که اغلب در ماتریس این بازی صرفاً عدد یا تابع بازدهی یک بازیکن ثبت می شود زیرا طبق تعاریف فوق مجموع بازدهی ها صفر یا عدد ثابتی خواهد بود و لذا بازدهی ها مکمل بوده و دانستن بازدهی یک نفر برای محاسبه بازدهی نفر دیگر کفایت می کند. در نتیجه برای حل مسائل بازیهای رقابت کامل در نظر گرفتن بازدهی تنها یک بازیکن برای حل مسئله کفایت می کند.

یکی از مثال های معروف در بازیهای رقابت کامل، بازی انطباق سکه ها ($\text{matching pennies}$) است که در آن دو نفر، بازیکنان $A$ و $B$، به صورت همزمان هر یک سکه ای را پرتاب می کنند. اگر سکه های فرود آمده هر دو از یک رو بنشینند، خط یا شیر، به امتیاز یکی از بازیکنان $(A)$ عدد یک اضافه می شود و از دیگری $(B)$ یک امتیاز کسر می گردد. بالعکس اگر سکه ها با دو روی متفاوت بنشینند، یعنی یکی خط و دیگری شیر باشد، بازیکن $A$ یک امتیاز از دست می دهد و بازیکن $B$ یک امتیاز به دست می آورد. این بازی از نوع رقابت مطلق است چون تضاد کامل منافع در آن مشهود است، یک بازیکن به دنبال مطابقت دو سکه است و دیگری به دنبال عدم مطابقت آن. همچنین از آنجا که با هر بار پرتاب سکه یک بازیکن امتیاز $+1$ و دیگری امتیاز $-1$ را کسب می کند، مجموع بازدهی دو بازیکن در هر صورت صفر خواهد بود و نتیجتاً این مثال از نوع بازی با مجموع صفر می باشد. مدل ماتریسی این بازی به صورت زیر خواهد بود:

$$\begin{array}{c|c|c} &Heads&Tails\\\hline Heads&\text{(1,-1)}&\text{(-1,1)}\\\hline Tails&\text{(-1,1)}&\text{(1,-1)}\end{array}$$

 طبق ماتریس بالا و با تمرکز بر خانه های $(1,1)$ و $(2,2)$،  اگر هر دو سکه شیر (Heads) و یا هر دو خط (Tails) باشند بازیکن سطری امتیاز یک و بازیکن ستونی امتیاز $-1$ را کسب می کند و اگر سکه ها مشابه نباشند طبق خانه های ${(1,2)}$ و $(2,1)$، به بازیکن سطری امتیاز $-1$ و به بازیکن ستونی امتیاز $+1$ تعلق خواهد گرفت.

یکی دیگر از مثالهای بسیار مشهور بازیهای رقابت مطلق بازی سنگ، کاغذ، قیچی (rochambo) است که تقریباً همه ما با ساختار آن آشنا هستیم. دو بازیکن همزمان یکی از سه گزینه ممکن را انتخاب میکنند و طبق قوانینی برنده مشخص می شود. مثلاً سنگ بر قیچی پیروز می شود و قیچی بر کاغذ و در نهایت کاغذ بر سنگ و اگر دو بازیکن یک گزینه همسان را انتخاب کنند به هیچ کدام امتیازی تعلق نمی گیرد. ماتریس این بازی مجموع صفر در زیر ارائه شده است.

$$\begin{array}{c|c|c|c} &Rock&Paper&Scissors\\\hline Rock&(0,0)&(-1,1)&(1,-1)\\\hline Paper&(1,-1)&(0,0)&(-1,1)\\\hline Scissors&(-1,1)&(1,-1)&(0,0) \end{array}$$

باید برای شما جالب باشد که بدانید همین بازی ساده بچگانه، دارای یک رقابت بزرگ جهانی با جایزه نه چندان کوچک 10 هزار دلار برای برنده نهایی مسابقه است. 

ساختار بازیهای همکاری مطلق (pure cooperation)

در مقابل ساختار بازیهای رقابت مطلق، ساختار دیگری وجود دارد که به بازی های همکاری مطلق موسوم است که در آن بازیکنان دارای منافع مشترک و دقیقاً یکسان هستند. به عبارت دیگر با هر اقدامی که بازیکنان انجام دهند، بازدهی حاصله برای هر دو یکسان خواهد بود و بنابراین مطلوبیت بازیکن $i$ از اقدام $a$ برابر با مطلوبیت بازیکن $j$ از اقدام $a$ خواهد بود که به زبان ریاضی به شرح زیر است:

$$\forall a \in A, \forall i,j,\quad u_i(a)=u_j(a)$$

از آنجا که امتیاز و بازدهی هر بازیکن مشابه امتیاز و بازدهی بازیکن دیگر است، در مدل ماتریسی بازی معمولاً در هر خانه تنها یک عدد که نمایشگر امتیاز هر دو طرف است نوشته می شود. مثال ساده ای که اغلب برای توضیح بازیهای همکاری مطلق مطرح می شود مثالی است که در آن دو بازیکن بازی در حقیقت دو راننده اتومبیل هستند که در یک خیابان دو طرفه به سمت هم حرکت می کنند. با فرض آنکه هیچ قانون خاصی وجود ندارد، هر یک از رانندگان باید تصمیم بگیرند از کدام سمت حرکت کنند. اگر هر دو یک گزینه مشابه را انتخاب کنند مثلاً هر دو تصمیم بگیرند از سمت راست خود حرکت کنند تصادفی رخ نمی دهد و هر دو سالم می مانند و امتیازی یکسان به هر دو تعلق می گیرد اما اگر این همکاری و یکسانی تصمیمات وجود نداشته باشد و یکی از رانندگان تصمیم بگیرد از راست خود و دیگری از سمت چپ خود حرکت کند، به هم برخورد کرده و هیچ کدام امتیازی دریافت نمی کنند. مدل ساده ماتریسی این بازی به صورت زیر است:

$$\begin{array}{c|c|c} &Left&Right\\\hline Left&\text{(1,1)}&\text{(0,0)}\\\hline Right&\text{(0,0)}&\text{(1,1)}\end{array}$$

ساختار بازیهای نسبی

اگر بتوانیم کلیه بازیها را روی طیفی که یک سر آن بازیهای رقابت مطلق و سر دیگر آن بازیهای همکاری مطلق قرار دارند نشان دهیم، به خوبی می توان دید که در دنیای واقعی اغلب مسائل و بازیها در میانه این طیف و در وضعیتی بین همکاری مطلق و رقابت مطلق قرار می گیرند که در اینجا به آنها نام بازیهای نسبی داده شده است. مثال شناخته شده ای که در حوزه بازیهای نسبی وجود دارد، بازی $\text{battle of the sexes}$ یا جدال جنسیتها است که به خوبی ترکیبی از عناصر هر دو موضوع رقابت و همکاری را در خود دارد. قبل از توضیح بازی قالب ماتریسی آن را ارائه می کنیم:

$$\begin{array}{c|c|c} &B&F\\\hline B&\text{(2,1)}&\text{(0,0)}\\\hline F&\text{(0,0)}&\text{(1,2)}\end{array}$$

 فرض کنید یک زوج با سلیقه های متفاوت، قصد رفتن به سینما را دارند و باید از بین دو فیلم موجود (فیلم های $B$ و $F$) که دارای دو ژانر کاملا متفاوت هستند یکی را انتخاب کنند. قبل از هر چیز آنها میخواهند که با همدیگر به مشاهده یک فیلم بپردازند و اینکه هر کدام از آنها به مشاهده فیلم مورد علاقه خود برود به یک اندازه هر دوی آنها را ناخشنود می کند. این ناخشنودی با امتیاز صفر برای هر دو آنها در خانه های $(1,2)$ و $(2,1)$ شان داده شده است. بنابراین این زوج می­خواهند به صورت مشترک به دیدن یک فیلم بروند اما دارای سلایق یکسان نیستند و مطلوبیت حاصل از مشاهده این دو فیلم برای هر یک از آنها متفاوت است. برای مثال مرد خانواده، بازیکن سطری، به فیلم $B$ علاقه دارد و همسرش که بازیکن ستونی است فیلم $F$ را بیشتر می پسندد. با این توضیح و با توجه به ماتریس فوق با انتخاب فیلم $B$، خانه $(1،1)$، مطلوبیت بازیکن سطری عدد $2$ و مطلوبیت بازیکن ستونی عدد $1$ خواهد بود که با انتخاب فیلم $F$ و با توجه به خانه $(2،2)$ اعداد مطلوبیت کاملا جابجا می شوند. این مثال نمونه بارزی از وجود همکاری و رقابت به صورت همزمان و نسبی در یک مسئله تصمیم گیری تئوری بازی ها است.

در مطلب مرتبط بعدی به معرفی یکی از مفاهیم اساسی تئوری بازیها یعنی تعادل نش می پردازیم.

مطلب مرتبط بعدی: منتشر نشده است.

مطلب مرتبط قبلی: جلسه سوم: چگونه یک بازی نرمال را به زبان ریاضی و در قالب ماتریس بنویسیم؟