Online User مفهوم بهینه سازی - مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی - تحقیق در عملیات - مدیریت تولید - ...

مفهوم بهینه سازی
نویسنده : محسن رحیمی - ساعت ٩:٥۱ ‎ب.ظ روز ۱۳٩٠/٤/۱۳
 

مفهوم اساسی بهینه سازی یافتن بهترین پاسخ ممکن برای یک مسئله یا مدل مشخص است که این بهترین پاسخ می تواند یک نقطه در صفحه مختصات باشد و هم می تواند یک گزینه از میان چندین مورد باشد. برای این کار، باید همه حالت های ممکن را بررسی نمود و ثابت کرد که جواب انتخاب شده بهترین است. در مسئله ارائه شده در پست قبلی، هدف یافتن مقدار x به نحوی است که TCS مینیمم گردد و همچنین محدودیت های حدود پایین و بالای متغیر نیز رعایت گردد. برای درک بهتر وظیفه بهینه سازی، پارامترهای TCS، TOC و TIC را با توجه به x تحلیل می کنیم. از آنجا که TPC مستقل از x است و بر فرآیند بهینه سازی تاثیری ندارد می توان آن را حذف نمود و مدل بازنویسی شده زیر را ارائه کرد:

برای راحتی تحلیل، این مسئله را با کمک اطلاعات فرضی تبدیل به یک مثال عددی می کنیم. این مسئله می تواند به مثالهای عددی متنوعی تبدیل شود ولی در اینجا فرض کنید با قراردادن D=100، F=4، h=8، lb=1 و ub=15 بخواهیم مثال عددی تولید کنیم. با این اطلاعات x به صورت زیر محاسبه می شود:

x مقادیر بین یک تا 15 را می تواند به خود بگیرد که با در نظر گرفتن x به عنوان عددی صحیح تنها 15 گزینه وجود خواهد داشت. بنابراین به راحتی و طبق جدول 1 برای همه 15 حالت x محاسبه خواهد شد.

جدول 1. مقادیر TOC، TIC و TCS محاسبه شده برای x های مختلف در مثال پست قبلی

400 

404 

200 

208 

33/133 

12 

33/145 

100 

16 

116 

80 

20 

100 

67/66 

24 

67/90 

14/57 

28 

14/85 

50 

32 

82 

44/44 

36 

44/80

10 

40 

40 

80 

11 

36/36 

44 

36/80 

12 

33/33 

48 

33/81 

13 

77/30 

52 

77/82 

14 

57/28 

56

57/84

15 

67/26 

60 

67/86 

 

از جدول 1 می توان نتیجه گرفت مینیمم مقدار برای هزینه کل سیستم برابر با 80 دلار است که در ازای x=10 حاصل می گردد. در حقیقت این جواب بهینه مسئله عددی فوق است و به این معناست که فروشگاه باید در هر بار سفارش 10 عدد کالا خریداری شود. یافتن جواب این مسئله بسیار ساده و راحت است. متاسفانه این روش کار برای همه مسائل بهینه سازی کارساز نیست زیرا اغلب مسئله ها و مدل ها دارای تعداد حالات و گزینه های ممکن بیشتری هستند و کار ارزیابی همه آنها بسیار مشکل است.

به منظور به کاربردن روش ها و الگوریتم هایی که با ارزیابی زیرمجموعه ای از کل گزینه های ممکن قادر به یافتن جواب بهینه هستند لازم است اطلاعاتی راجع به ویژگی ها و خواص توابع داشته باشیم. جهت بررسی رفتار توابع TOC،TIC وTCS نمودار آنها بر حسب x (در بازه 6 تا 15) در شکل 1 رسم شده است. همانطور که مشاهده می کنید TIC به صورت خطی افزایش یافته، TOC نزولی است و TCS (که جمع TIC و TOC است) در ابتدا حالت نزولی و سپس حالت صعودی می گیرد.

شکل 1. نمودار توابع TOC، TIC و TCS بر حسب x

 

در اینجا بر روی نمودار تابع TCS و نقطه ای که این تابع در آن به مقدار مینیمم خود می رسد تمرکز می کنیم. شکل 2 نمودار این تابع را با جزئیات بیشتری نشان می دهد.

از شکل 2 مشخص می شود که تابع TCS تابعی هموار، پیوسته و محدب است که دارای یک نقطه مینیمم در x=10 است که همان پاسخ بهینه مثال عددی بالا می باشد. ترسیم توابعی با سه متغیر به دلیل سه بعدی بودن مشکل است و برای توابعی که بیشتر از سه متغیر دارند این کار عملی نیست. در این مثال، یافتن و تحلیل پاسخ کاملاً به ویژگی های ریاضی تابع وابسته است.

شکل 2. نمودار تابع TCS بر حسب x

 

تابع TCS برای x حقیقی مشتق پذیر است. پس از مشتق گیری از تابع TCS بر حسب x، خواهیم داشت:

 

 

در اصطلاح ریاضی، d(TCS)/dx را گرادیان تابع x می گویند. اگر گرادیان تابع مذکور را در نقاط x=8، x=10 و x=12 محاسبه کنیم خواهیم داشت:

می توان مشاهده کرد که گرادیان در نقطه بهینه (مینیمم) برابر است با صفر، برای x های کمتر از x نقطه بهینه، عددی منفی و برای x های بزرگتر از x نقطه بهینه عددی مثبت است. یعنی برای یافتن جواب بهینه باید به دنبال نقطه ای بگردیم که گرادیان تابع در آن نقطه برابر با صفر باشد.

پست مرتبط بعدی: دسته بندی مسائل بهینه سازی

پست مرتبط قبلی: مثالی ساده از مدل ریاضی برنامه ریزی خطی