Online User فرضیات مدل برنامه ریزی خطی: فرض تناسب - Proportionality assumption - مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی - تحقیق در عملیات - مدیریت تولید - ...

فرضیات مدل برنامه ریزی خطی: فرض تناسب - Proportionality assumption
نویسنده : محسن رحیمی - ساعت ۸:٤٠ ‎ب.ظ روز ۱۳٩٠/٤/۱٩
 

همه فرضیات برنامه ریزی خطی در مدل مسئله شرکت ویندور رعایت شده اند. با این حال بهتر است این فرضیات بیشتر تشریح شود تا بتوان ارزیابی ساده تر و مناسب تری راجع به امکان استفاده از تکنیک های برنامه ریزی خطی در مسائل مختلف انجام داد. بنابراین در این مطلب و مطالب بعدی به این سوال پاسخ می دهیم که چرا تیم OR در رابطه با مسئله شرکت ویندور به این نتیجه رسیدند که مدل برنامه ریزی خطی می تواند نمایشی رضایت بخش از مسئله ارائه دهد.

فرض تناسب

فرض تناسب که هم درباره تابع هدف باید وجود داشته باشد و هم درباره محدودیت های ساختاری، به صورت زیر بیان می شود:

سهم هر فعالیت در مقدار تابع هدف،Z، متناسب است با سطح آن فعالیت،xj، که به صورت cjxj در تابع هدف نشان داده می شود. همچنین سهم هر فعالیت در عبارت سمت راست هر محدودیت، متناسب است با سطح آن فعالیت،xj، که به صورت aijxj در محدودیت نشان داده می شود. در نتیجه این فرض باعث می شود هیچ یک از متغیرها در هیچ یک از عبارات مدل برنامه ریزی خطی، توانی غیر یک نداشته باشند.

هنگامی که تابع دارای یک عبارت ضربی (تعاملی) باشد یعنی دو متغیر در هم ضرب شده باشند و توان هر دو یک باشد، فرض تناسب رعایت می شود زیرا تغییر مقدار تابع با تغییر در متغیر تصمیم متناسب است. (با این حال وجود عبارات ضربی با فرض جمع پذیری که در مطلب بعدی به آن خواهیم پرداخت همخوانی ندارد.)

برای تشریح بیشتر فرض تناسب، عبارت اول (3x1) تابع هدف مسئله شرکت ویندور (Z=3x1+5x2) را در نظر بگیرید. این عبارت بیانگر سود حاصل شده در هفته (به هزار دلار) در اثر تولید محصول جدید اول با نرخ تولید x1 در هفته است. در ستون تناسب رضایت بخش جدول 1 مورد ارائه شده در مسئله شرکت ویندور آورده شده است که در آن سود کاملاً با x1 متناسب است. سه ستون بعدی نیز نتایج حاصل از سه مورد فرضی آورده شده است که فرض تناسب در آنها رعایت نشده است.

جدول 1. نمونه هایی از رعایت فرض تناسب و عدم رعایت آن

تناسب رضایتبخش

مثال هایی از عدم رعایت فرض تناسب

مورد اول

مورد دوم

مورد سوم

0

0

0

0

0

1

3

2

3

3

2

6

5

7

5

3

9

8

12

6

4

12

11

18

6

ستون مربوط به مورد اول را در جدول 1 در نظر بگیرید. این مورد می تواند زمانی پیش بیاید که برای تولید محصول اول نیاز به صرف هزینه های راه اندازی باشد، برای مثال اگر برای تنظیم تجهیزات و دستگاه ها برای شروع کار تولید لازم باشد هزینه ای صرف شود و یا اگر لازم باشد برای توزیع محصول مراکز توزیع جدید ایجاد شود. از آنجا که تنها برای یک بار این هزینه ها پرداخت می شوند، برای وارد کردن آنها در تابع هدف، واحد هزینه های راه اندازی باید بر پایه هزینه بر هفته تغییر یابند تا قابل اضافه شدن در تابع هدف Z که سود بر هفته است باشند. فرض کنید این تغییر واحد صورت گرفته باشد و کل هزینه راه اندازی که باید از کاسته شود معادل عدد یک محاسبه شده باشد. به این ترتیب سهم تولید محصول اول در تابع هدف Z، باید به صورت 3x1-1 برای x1>0 باشد و برای زمانی که محصول یک تولید نشود یعنی x1=0، این سهم به صورت 3x1=0 باید محاسبه شود. این تابع سود که در شکل 1 رسم شده است مشخصاً با x1 متناسب نیست و در نتیجه فرض تناسب در مورد آن رعایت نشده است. اگر سهم محصول اول در Z به ازای همه x1>=0 برابر بود با 3x1-1 آنگاه می توانستیم عدد ثابت، -1، را از تابع هدف حذف کنیم بدون اینکه تغییری در جواب بهینه حاصل شود و همچنین فرض تناسب نیز رعایت شده است. اما از آنجا که برای x1=0 شرط بالا صحیح نیست در نتیجه نمی توان از این تکنیک استفاده نمود.

شکل 1. ترسیم مثال مورد اول انحراف از فرض تناسب در جدول 1

مورد دوم جدول 1 نیز شباهت زیادی با مورد اول دارد، با این حال این مورد در شرایط کاملاً متفاوت ظهور می کند. در این مورد هیچ هزینه راه اندازی وجود ندارد و سود حاصل از تولید اولین دسته از محصول برابر است با 3 (هزار دلار) است که با مثال دارای فرض تناسب یکسان است. با این حال در این مورد افزایش نرخ سود وجود دارد به این معنا که شیب تابع سود محصول یک (در شکل 2 ببینید) با افزایش x1 افزایش می یابد. این نوع انحراف از فرض تناسب ممکن است در اثر صرفه جویی در مقیاس حاصل شود که گاهی در سطوح بالای تولید ایجاد می شود. صرفه جویی در مقیاس در اثر مواردی مانند استفاده از اتوماسیون و تجهیزات حجم بالای با کیفیت، خرید ارزان تر حجم زیادی از مواد اولیه و یا اثر منحنی یادگیری نیروی کار که باعث می شود نیروی کار در اثر تجربه بیشتر اثربخشی و کارایی بالاتری داشته باشند، ایجاد می شود. به عبارت دیگر در هر شرایطی که با افزایش تولید، نرخ رشد هزینه ها کاهش یابد و قیمت فروش کالا ثابت بماند، نرخ رشد سود افزایش می یابد و می تواند مثالی از مورد دوم جدول 1 باشد.

شکل 2. ترسیم مثال مورد دوم انحراف از فرض تناسب در جدول 1

با بررسی مجدد جدول 1 مشاهده می شود که مورد سوم تقریباً حالت عکس مورد دوم است به این معنا که در آن کاهش رشد نرخ سود وجود دارد. در این مورد شیب تابع سود محصول اول (همانطور که در شکل 3 مشاهده می کنید، با افزایش x1 کاهش می یابد. این انحراف از فرض تناسب می تواند به علت وجود هزینه های تبلیغاتی باشد؛ یعنی شرایط بازار به گونه ای باشد که برای فروش کالای بیشتر باید هزینه های تبلیغاتی را افزایش داد. برای مثال مانند مورد سوم ممکن است فروش محصول اول با نرخ تولید یک دسته در هفته (x1=1)، بدون نیاز به هزینه تبلیغاتی انجام شود، در حالیکه برای فروش این کالا با نرخ تولید 2 دسته در هفته (x1=2)، احتیاج به صرف هزینه های تبلیغاتی باشد و به همین ترتیب برایx1=3 هزینه های بسیار بالای تبلیغاتی لازم باشد و برای x1=4 هزینه ها به حدی افزایش یافته باشند که سود را کاهش دهند.

شکل 3. ترسیم مثال مورد سوم انحراف از فرض تناسب در جدول 1

 

همانطور که مشاهده کردید، هر سه مورد مثالهایی فرضی هستند که راه های مختلف انحراف از فرض تناسب را نشان می دهند. اینکه موقعیت واقعی مسئله کدام حالت است بستگی به شرایط تولید، سود و هزینه ها دارد. سود حاصل از تولید هر محصول برابر است با درآمد حاصل از فروش آن منهای هزینه های مختلف مستقیم و غیر مستقیم. در بسیاری از موارد به علت وجود یکی از حالت های بالا، برخی از این هزینه ها کاملاً متناسب با نرخ تولید نیستند. در حل اینگونه مسائل پس از بررسی تمام جنبه های سود (درآمد ها و هزینه ها) باید به این سوال پاسخ داد که آیا فرض تناسب برقرار است یا خیر؟ و در صورت عدم برقراری این فرض به طور کامل، آیا می توان تقریب مطلوبی از آن را ایجاد نمود یا خیر؟ برای مسئله شرکت ویندور تیم OR هر دو نوع توابع یعنی تابع هدف و توابع محدودیت را بررسی نمودند و به این نتیجه رسیدند که می توان فرض تناسب را برای آن در نظر گرفت.

اگر فرض تناسب برای مسئله ای برقرار نباشد چه باید کرد؟ در بسیاری از موارد باید از برنامه ریزی غیر خطی استفاده نمود که انشاءا... در آینده به آن خواهیم پرداخت و البته در آن بخش نشان خواهیم داد که بخش مهمی از مسائلی که دارای فرض تناسب نیستند را می توان با تغییراتی به کمک برنامه ریزی خطی حل نمود. برای مثال اگر انحراف از فرض تناسب به علت وجود هزینه های راه اندازی باشد، مسئله مورد نظر نوع خاصی از برنامه ریزی خطی است (برنامه ریزی عدد صحیح ترکیبی) که در مطالب آینده تشریح خواهند شد.

 پست مرتبط بعدی:فرضیات مدل برنامه ریزی خطی: فرض جمع پذیری

پست مرتبط قبلی: اصطلاحات رایج در حل مدل برنامه ریزی خطی