Online User مدلسازی یک مسئله ساده ترکیب محصول - مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی - تحقیق در عملیات - مدیریت تولید - ...

مدلسازی یک مسئله ساده ترکیب محصول
نویسنده : محسن رحیمی - ساعت ۱٠:٢٥ ‎ب.ظ روز ۱۳٩٠/٤/٢۱
 

مسئله: یک نجار در کارگاه خود میز و صندلی تولید می کند. فرآیند کار عبارت است از ماشین کاری، سنباده زنی و مونتاژ قطعات برای تهیه میز و صندلی. نجار برای تولید هر میز پنج ساعت به ماشین کاری، چهار ساعت به سنباده زنی و سه ساعت به مونتاژ قطعات می پردازد. برای تولید هر صندلی نیز به دو ساعت ماشین کاری، سه ساعت سنباده زنی و چهار ساعت مونتاژ نیاز دارد. شرایط تجهیزات به گونه ای است که در کل برای عمل ماشین کاری 270 ساعت، برای عمل سنباده زنی 250 ساعت و برای مونتاژ 200 ساعت زمان بیشتر وجود ندارد. اگر سود هر میز 100دلار و هر صندلی 60 دلار باشد، این نجار چه تعداد میز و چه تعداد صندلی تولید کند که سود خود را ماکزیمم نماید؟ اگر لازم باشد به ازای هر میز، چهار صندلی نیز تولید شود مدلسازی چه تغییری می کند؟

حل مسئله: در بسیاری از موارد برای ساده سازی فرآیند مدلسازی و فهم بهتر مسئله می توان اطلاعات مسئله را در یک جدول منظم و با صلاحدید مدلساز گردآوری کرد، برای نمونه جدول خلاصه اطلاعات مسئله بالا در جدول 1 آمده است:

جدول 1 اطلاعات مسئله تولید میز و صندلی

میزان منبع موجود (ساعت)

میزان منبع مورد نیاز به ازای هر واحد محصول 

نوع کار 

صندلی 

میز 

270 

ماشین کاری 

250 

سمباده زنی 

200 

مونتاژ 

 

60 

100 

سود هر واحد (دلار) 

 در مدلسازی مسئله، در ابتدا متغیرهای مسئله تعریف می شوند، سپس توابع ریاضی مربوط به محدودیت ها و هدف مسئله استخراج می شوند.

تعریف متغیرها

متغیرهای تصمیم در این مسئله عبارتند از:

 T= تعداد میز هایی که باید تولید شود.

C = تعداد صندلی هایی که باید تولید شود.

T و C متغیر های مجهولی هستند که قصد مدلساز یافتن مقدار مناسب برای آنهاست. برای نام گذاری متغیرها می توان از x1، x2 یا x، y به جای T و C استفاده نمود.

تعیین تابع هدف

همانطور که از مسئله بر می آید، هدف جداکثر نمودن سود حاصل از فروش صندلی ها و میز های تولید شده است. تابع هدف مسئله را می توان به شرح زیر نوشت:

تعداد تولیدی از محصول مورد نظر × سود هر واحد محصول = سود حاصل از تولید محصولی خاص

100T=     سود کل حاصل از فروش میزها

60C =       سود کل حاصل از فروش صندلی ها

100T+60C= سود کل حاصل از فروش میزها و صندلی ها

بنابراین تابع هدف عبارت خواهد بود از:

حرف Z نشاندهنده تابع هدف است و کلمه Maximize که گاهی به صورت اختصاری Max نیز نوشته می شود بیانگر این مطلب است که هدف حداکثر نمودن مقدار تابع هدف است.

تعیین محدودیت ها

برای این مسئله سه محدودیت ذکر شده است. ساعت های موجود برای ماشین کاری، سمباده زنی و مونتاژ قطعات.

محدودیت مربوط به مرحله ماشین کاری:

برای عملیات ماشین کاری 270 ساعت در نظر گرفته شده است. برای تولید هر میز احتیاج به 5 ساعت عملیات ماشین کاری است و در مقابل برای تولید هر صندلی این زمان 2 ساعت می باشد. بنابراین کل مدت زمانی که برای عملیات ماشین کاری صرف خواهد شد به صورت زیر قابل محاسبه است:

تعداد محصول × زمان لازم برای ماشین کاری هر واحد محصول = کل زمان ماشین کاری محصول

5T= کل زمان لازم برای ماشین کاری میزها

2C= کل زمان لازم برای ماشین کاری صندلی ها

5T+2C= کل زمان لازم برای ماشین کاری میزها و صندلی ها

بنابراین محدودیت مربوط به زمان ماشین کاری به صورت زیر خواهد بود:

LHS این محدودیت بیانگر کل مدت زمان لازم برای عملیات ماشین کاری است و RHS بیانگر کل مدت زمان در دسترس برای این عملیات است. علامت کوچکتر مساوی بین RHS و LHS نشان دهنده این مطلب است که مدت زمان لازم برای عملیات ماشین کاری نباید بیشتر از کل زمان در دسترس برای این عملیات باشد.

محدودیت مربوط به مرحله سمباده زنی:

برای عملیات سمباده زنی 250 ساعت وجود دارد. برای تولید هر میز به 4 ساعت و برای تولید هر صندلی به 3 ساعت سمباده زنی احتیاج است. بنابراین محدودیت مربوط به این عملیات را می توان به صورت زیر نوشت:

محدودیت مربوط به مرحله مونتاژ قطعات:

برای مونتاژ تنها 200 ساعت زمان وجود دارد. تولید هر میز به 3 ساعت و تولید هر صندلی به 4 ساعت مونتاژ نیاز دارد. بنابراین محدودیت مونتاژ به صورت زیر خواهد بود:

محدودیت غیر منفی بودن:

باید به این نکته توجه داشت که تعداد میز ها یا صندلی ها نمی تواند منفی باشد بنابراین T و C باید غیر منفی (صفر و یک) باشند. بسیاری از نرم افزارهای طراحی شده برای حل این مسائل این شرط را برای حل مدل ها به صورت پیش فرض در نظر می گیرند. محدودیت های غیر منفی بودن متغیرهای مسئله به صورت زیر نوشته می شوند:

بنابراین شکل کلی مدل ریاضی این مسئله خواهد شد:

این مدل نشان می دهد که مقدار Z باید با توجه به سه محدودیت ماشین کاری، سمباده زنی و مونتاژ حداکثر گردد. به جای عبارت subject to در برخی از موارد از علامت عضویت نیز استفاده شده است. در حل مدل بالا هدف یافتن مقادیر عددی برای T و C است به طوریکه هم در محدودیت ها صدق کند و هم مقدار تابع هدف را بهینه سازد.

تعاریف ارائه شده برای C و T را در نظر بگیرید. شما می توانید با دقت در مدل ریاضی بالا، مسئله مورد نظر را بدون آنکه آن را قبلاً شنیده باشید حدس بزنید. با این حال شما می توانید مسائل گوناگونی را بنویسید که با مدل بالا همخوانی داشته باشند. همانطور که می دانید مدل بالا یک ارائه ریاضی از مسئله است. نکته مهم آن است که برای یک مسئله مدل ریاضی منحصربفرد وجود ندارد و با توجه به نوع متغیرهای تصمیم تعریف شده و فرضیات مدلساز، مدل می تواند اشکال گوناگونی به خود بگیرد. گاهی ممکن است شما به عنوان مدلساز احساس کنید به متغیرهای دیگری علاوه بر متغیرهای وجود نیاز دارید. برای نمونه در مسئله تولید میز و صندلی متغیری با تعریف کل ساعات ماشین کاری مورد نیاز و یا ساعات استفاده نشده از سهمیه زمان ماشین کاری در نظر بگیرید. این دو متغیر را می توان به راحتی از محدودیت ماشین کاری، در صورتی که C و T معین باشند محاسبه کرد و این به یعنی به منظور خلاصه کردن مدل می توان از بکاربردن چنین متغیرهایی جلوگیری کرد. چون یکی از عوامل پیچیدگی محاسباتی یک مدل ریاضی، تعداد متغیرها و محدودیت های مدل است، انتظار می رود که مدلساز سعی کند مدل ریاضی خود را با حداقل تعداد متغیرها و محدودیت ها کامل کند.

در عبارت پایانی مسئله، این سوال مطرح شده است که اگر قرار باشد برای هر میز حتماً چهار صندلی نیز تولید شود، مدلسازی مسئله چگونه صورت خواهد گرفت. این عبارت محدودیتی جدید به مدل اضافه می کند که موجب می شود به ازای هر میز، 4 صندلی نیز وجود داشته باشد. این شرط را به صورت ریاضی می توان چنین نوشت:

برای کنترل صحت این رابطه می توان فرض کرد 5 میز تولید شده باشد یعنی T = 5، آنگاه طبق رابطه بالا C برابر با 20 گردد و این یعنی تولید 20 صندلی به ازای تولید 5 میز.

از آنجا در اکثر نرم افزارهای بهینه سازی دستورالعمل این است که همه متغیرهای تابع محدودیت در LHS باشند و اعداد ثابت نیز در RHS، رابطه بالا را باید به صورت زیر بازنویسی کرد:

در نهایت مدل ریاضی جدید به صورت زیر خواهد بود:

پست مرتبط بعدی: مدلسازی مسئله برنامه ریزی تغذیه

پست مرتبط قبلی: اجزای مدل ریاضی برنامه ریزی خطی: محدودیت