Online User فرضیات مدل برنامه ریزی خطی: فرض جمع پذیری Additivity assumption - مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی Industrial Management

مدیریت صنعتی - تحقیق در عملیات - مدیریت تولید - ...

فرضیات مدل برنامه ریزی خطی: فرض جمع پذیری Additivity assumption
نویسنده : محسن رحیمی - ساعت ٢:٥٢ ‎ب.ظ روز ۱۳٩٠/٤/٢٥
 

همانطور که در مطلب مرتبط قبلی عنوان شد بر اساس فرض تناسب، کلیه مسائلی که در آنها متغیری با توان غیر از یک وجود دارد در حوزه برنامه ریزی خطی قرار ندارند، ولی وجود عبارات ضربی (عبارتی که در آن حاصل ضرب دو متغیر تصمیم وجود دارد) با این فرض در تناقض نیست. فرضی که با وجود عبارات ضربی در تناقض است فرض جمع پذیری[1] است که در زیر تعریف شده است:

هر تابعی در مدل برنامه ریزی خطی (چه تابع هدف و چه توابع محدودیت) باید به صورت مجموع سهم فعالیت های مجزا در آن تابع ارائه شده باشد.

برای توضیح بیشتر این فرض و پاسخ به این سوال که چرا باید در مدلسازی به این فرض توجه شود در ادامه مثال هایی ارائه شده است. جدول 1 مواردی از حالات ممکن تابع هدف مسئله شرکت ویندور را نشان می دهد. در همه موارد اگر تنها یک محصول تولید شود سود حاصل برای محصول اول 3x1 و برای محصول دوم 5x2 است. تفاوتهای این موارد در سطر آخر، که نشاندهنده Z است، زمانی بوجود می آید که بخواهیم هر دو محصول را با هم تولید کنیم. ستون جمع پذیری رضایت بخش موردی را نشان می دهد که مقدار تابع هدف Z=3x1+5x2، به سادگی با جمع دو سطر اول (3+5=8) بدست می آید. در مقابل دو ستون بعدی دو مورد فرضی را نشان می دهند که فرض جمع پذیری درباره آنها صدق نمی کند.

جدول 1. نمونه هایی از رعایت فرض جمع پذیری و عدم رعایت آن در تابع هدف

(x1,x2)

مقدار Z

جمع پذیری رضایتبخش

انحراف از جمع پذیری

مورد اول

مورد دوم

(1,0)

3

3

3

(0,1)

5

5

5

(1,1)

8

9

7

 ستون مربوط به مورد اول جدول 1 مربوط است به تابع هدفی به شکل Z=3x1+5x2+x1x2 به طوریکه برای (x1,x2)=(1,1) داریم Z=3+5+1=9 و در نتیجه از فرض جمع پذیری انحراف دارد. از آنجا که همه متغیرها دارای توان یک هستند فرض تناسب در این تابع رعایت شده است. این مورد زمانی پیش می آید که برای مثال دو کالا از لحاظ اقتصادی مکمل یکدیگر باشند و سود را افزایش دهند. برای مثال فرض کنید تبلیغات برای یکی از کالاها منجر شود که به طور موثری هر دو کالا فروش روند. از آن جهت که هزینه های تبلیغاتی برای یکی از کالا ها حذف شده است، در نتیجه سود کل حاصل از فروش هر دو کالا بیشتر از مجموع سود حالاتی است که محصولات یک و دو به تنهایی تولید شوند.

ستون مربوط به مورد دوم جدول 1 نیز مربوط است به تابع هدفی به شکل Z=3x1+5x2-x1x2 به طوریکه برای (x1,x2)=(1,1) داریم Z=3+5-1=7 و در نتیجه از فرض جمع پذیری انحراف دارد. برعکس مورد اول، این مورد زمانی پیش می آید که برای مثال دو کالا حالت رقابتی داشته باشند و سود حاصل از تولید هردو محصول کمتر از مجموع سود حالاتی است که محصولات یک و دو به تنهایی تولید شوند. برای مثال فرض کنید هر دو محصول برای تولید احتیاج به یکی از تجهیزات کارخانه داشته باشند. اگر تصمیم گرفته شود تنها یکی از محصولات تولید شود، این ماشین تمام وقت در اختیار تولید محصول مورد نظر خواهد بود. اما در صورتی که تصمیم گرفته شود هر دو محصول تولید شوند این ماشین باید در ساعاتی از روز به تولید محصول اول و در ساعاتی از روز به تولید محصول دوم بپردازد و این کار مستلزم از دست رفتن زمان و همچنین صرف هزینه های خاموش کردن و راه اندازی مجدد آن است. به دلیل وجود این هزینه های اضافی، سود حاصل از تولید هر دو محصول کمتر از مجموع سود حالاتی است که محصولات یک و دو به تنهایی تولید شوند که احتیاج به صرف هزینه های خاموش کردن و راه اندازی مجدد ندارند.

در توابع محدودیت نیز حالات مشابهی از تعامل بین متغیرها می تواند منجر به انحراف از فرض جمع پذیری گردد. برای مثال، محدودیت ساختاری سوم مسئله شرکت ویندور، 3x1+2x2<=18، را در نظر بگیرید. این محدودیت تنها محدودیتی در مسئله است که هر دو متغیر را شامل می شود. این محدودیت مربوط است به محدودیت ظرفیت زمانی کارخانه سوم که بیشتر از 18 ساعت در هفته نمی تواند در فرآیند تولید شرکت کند و عبارت سمت راست این محدودیت، 3x1+2x2، نشان می دهد که برای تولید یک دسته در هفته از هر محصول به چه مقدار زمان نیاز است. ستون جمع پذیری رضایتبخش در جدول 2 حالت بالا را نشان می دهد و دو ستون بعدی مواردی را نشان میدهند که در تابع محدودیت آنها عبارات ضربی به کار رفته است و در نتیجه فرض جمع پذیری در رابطه با آنها صدق نمی کند. برای هر سه ستون سهم مجزای هر محصول از ظرفیت زمانی کارخانه سوم همانند آنچه در جدول 1 آمده است ارائه شده است، یعنی برای محصول اول 3x1 و برای محصول دوم 2x2 و یا 3(2)=6 به ازای x1=2 و 2(3)=6 به ازای x2=3. همچنین همانند جدول 1 اعدادی که در سطر آخر ارائه شده است مربوط است به مقدار کل تابع محدودیت زمانی که هر دو محصول با هم تولید شوند.

جدول 2. نمونه هایی از رعایت فرض جمع پذیری و عدم رعایت آن در محدودیت ها

(x1,x2)

مقدار منبع استفاده شده

جمع پذیری رضایتبخش

انحراف از جمع پذیری

مورد سوم

مورد چهارم

(2,0)

6

6

6

(0,3)

6

6

6

(2,3)

12

15

8/10

 ستون مربوط به مورد سوم جدول 2 مربوط است به محدودیتی به شکل 3x1+2x2+0.5x1x2 به طوریکه برای (x1,x2)=(2,3) داریم 6+6+3=15 و در نتیجه از فرض جمع پذیری 6+6=12 انحراف دارد. این حالت دقیقاً مانند مورد دوم جدول 1 زمانی پیش می آید که باید زمانی را صرف خاموش کردن و دوباره راه اندازی کردن دستگاهی نمود تا بتوان هر دو محصول را تولید کرد. عبارت ضربی حاضر در تابع محدودیت، (0.5x1x2)، بیانگر میزان زمان هدر رفته در این فرآیند است. دقت داشته باشید که زمان هدر رفته به دلیل تغییر محصول با علامت مثبت در تابع محدودیت آورده شده است زیرا مقدار این تابع، زمان تولید است در حالیکه در مورد دوم جدول 1  عبارت ضربی با علامت منفی در تابع هدف ظاهر می شود چون این تابع سود را اندازه گیری می کند.

ستون مربوط به مورد چهارم جدول 2 مربوط است به محدودیتی به شکل 3x1+2x2-0.1x12x2 به طوریکه برای (x1,x2)=(2,3) داریم 6+6-1.2=10.8 و در نتیجه از فرض جمع پذیری 6+6=12 انحراف دارد. این مورد نیز در مواردی مشابه مورد سوم بروز می کند فرض کنید هر دو محصول برای تولید به به یکی از تجهیزات کارخانه نیازمند باشند ولی زمان لازم برای تغییر کاربری دستگاه ناچیز باشد. از آن جهت که هر محصول برای تولید از رشته ای از تجهیزات عبور می کند، زمان هایی وجود خواهد داشت که یک دستگاه تولیدی بلا استفاده باشد. بنابراین می توان از این زمان های به اصطلاح مرده برای تولید محصول دیگر استفاده نمود. در نتیجه کل زمان تولید مورد استفاده برای تولید دو محصول کمتر از مجموع زمان لازم برای تولید دو محصول در حالتی است که تنها تولید شوند.

پس از تحلیل انواع مختلف حالات ظهور عبارت ضربی (تعاملی) بین دو محصول، تیم OR به این نتیجه رسید که هیچ یک از حالات انحراف در مسئله شرکت ویندور صدق نمی کنند و در نتیجه فرض جمع پذیری با تقریبی قابل قبول در این مسئله وجود دارد.

برای حل مسائلی که از فرض جمع پذیری انحراف دارند لازم است از تکنیک های برنامه ریزی غیر خطی استفاده شود که آینده به آن خواهیم پرداخت.


[1] Additivity assumption

پست مرتبط بعدی:فرضیات مدل برنامه ریزی خطی: فرض تقسیم پذیری و فرض معین بودن

پست مرتبط قبلی: فرضیات مدل برنامه ریزی خطی: فرض تناسب