مدلسازی توابع خطی تکه ای (Piecewise Linear Functions)

بسیاری از مسائل دنیای واقعی را می توان به صورت توابع خطی تکه ای پیوسته (Piecewise Linear Function) مدل نمود. برای مثال در مواردی که تغییر مقیاس تولید منجر به افزایش و یا کاهش هزینه ها می شود، به نوعی با توابع خطی تکه ای روبرو هستیم. برای اینکه بیشتر با توابع خطی تکه ای آشنا شویم، نمونه ای از آن را در شکل زیر نشان داده ایم. همان طور که می بینید تابع مورد نظر یک تابع خطی سه تکه است که میزان سود را بر اساس سطح فعالیت شرکت نشان می دهد. سطح فعالیت شرکت ممکن است با پارامترهای مختلفی مانند میزان تولید، ساعت کار، تعداد نمایندگی و یا ... سنجیده شود. برای مدلسازی این نوع توابع، معمولاً از متغیرهای باینری استفاده می شود.

مثال : تابع خطی سه تکه

مسئله ای را در نظر بگیرید که تابع هدف آن به صورت زیر بیان شده باشد:

با صرف نظر کردن از بقیه اطلاعات مسئله از جمله محدودیت ها، در ادامه نشان می دهیم که چگونه می توان تابع بالا را به صورت یک تابع هدف مناسب برای برنامه ریزی خطی نوشت.

از اطلاعات تابع بالا می توان گفت شیب سه پاره خط به ترتیب عبارتند از:

S1=5، S2=1 و S3=3.

همچنین داریم:

u1=4، u1+u2=10 و u1+u2+u3=15.

شکل 1. نمونه ای از تابع خطی تکه ای (سه تکه)

برای شروع مدلسازی سه متغیر را تعریف کرده (شکل 2 را ببینید) و می نویسیم:

شکل 2. تابع خطی تکه ای و متغیرهای تعریف شده

با توجه به شکل 2 که به صورت ترسیمی تعریف متغیرهای تصمیم مسئله را نشان می دهد می توان نوشت:

با توجه به متغیرهای تعریف شده و اطلاعات مربوط به شیب خطوط، تابع هدف را می توان به صورت زیر نوشت:

و همچنین باید محدودیت های زیر را نیز به مدل اضافه نمود:

حال برای نمایش دو محدودیت شرطی بالا به صورتیکه در برنامه ریزی خطی قابل استفاده باشد، دو متغیر باینری زیر را تعریف می کنیم:

بر این اساس خواهیم داشت:

 از همین تکنیک می توان برای مدلسازی هر تابع خطی تکه ای دیگری با هر تعداد پاره خط استفاده نمود. شکل عمومی محدودیت های این مسئله را می توان به صورت زیر نوشت:

 در رابطه بالا عبارت است از طول افقی هر بخش.

مطلب مرتبط بعدی:

مطلب مرتبط قبلی: مدلسازی و ایجاد رابطه بین محدودیت ها و تابع هدف

/ 3 نظر / 660 بازدید
mesgaryan

باسلام من از اساتید رشته مهندسی صنایع در دانشگاههای کرمانشاه هستم ممنون میشم که سایت من رو لینک کنید التماس دعا .............

امیر

سلام..آقا چقدر وبلاگت خوبه...واقعا ممنون پاینده باشی

مجتبی

خوب بود مرسی