مدلسازی توابع غیر خطی به روش تقریب

 

 

شکل 1. نمونه ای از یک تابع غیر خطی

 

 برای تقریب خطی تابع مورد نظر لازم است آن را به چند بخش (نه لزوماً مساوی) تقسیم نماییم. فرض کنید بر اساس شکل 2، تابع مذکور را به سه بخش تقسیم کنیم. در نتیجه می توان سه متغیر

 

x1، x2 و x3

 

را که در شکل نیز مشخص شده اند تعریف نمود و عبارت زیر را نوشت:

 

 

و همچنین داریم:

 

 

نکته ای که باید توجه داشت آن است که برای افزایش دقت تقریب می توان تعداد بخش ها (پاره خط ها) را افزایش داد و البته باید این نکته را نیز مد نظر داشت که این کار باعث افزایش متغیرهای تصمیم و محدودیت ها می شود.با در نظر گرفتن شیب پاره خط ها که عبارتند از

 

S1، S2 و S3

 

تابع هدف را می توان به صورت زیر نوشت:

 

 

که محدودیت های ویژه آن نیز عبارتند از:

 

 

 

شکل 2. تقریب خطی تکه ای یک تابع غیر خطی

 

برای نمایش دو محدودیت ارائه شده در بالا به صورتی که برای برنامه ریزی خطی قابل استفاده باشد، دو متغیر باینری به صورت زیر را تعریف می کنیم:

 

 

و به کمک این متغیرهای جدید، محدودیت های شرطی مسئله را به محدودیت های زیر تبدیل می کنیم:

 

 

مثال تقریب یک تابع غیر خطی

 

فرض کنید به منظور تقریب یک تابع غیر خطی آن را به سه بخش تقسیم کرده ایم که نقاط تقاطع پیشنهادی این سه پاره خط عبارتند از

 

،  و 

 

. به کمک اطلاعات ارائه شده تابع مورد نظر را برای استفاده در یک مدل برنامه ریزی خطی، مدلسازی نمایید.

 

به کمک اطلاعات بالا می توان نوشت:

 

 

و

 

 

شیب خطوط پیشنهادی را می توان به صورت زیر محاسبه نمود:

 

 

حال به کمک شیب های به دست آمده می توان تابع اصلی را مدلسازی نمود. برای این کار ابتدا دو متغیر باینری را به صورت زیر تعریف می کنیم:

 

 

بنابراین مدل کلی مسئله به صورت زیر خواهد بود:

 

 

 

/ 0 نظر / 549 بازدید